Тензор напряжений.
Главные площадки и главное напряжение.
Виды напряжённого состояния.

---

Известно, что напряжения на площадке, проходящей через заданную точку нагруженного тела, зависят от ее ориентации. Совокупность напряжений на множестве площадок, которые можно провести через какую-либо точку тела, называется напряженным состоянием в данной точке.

Введем в произвольной точке тела декартову прямоугольную систему координат O_xyz. Рассмотрим в точке O элементарный (бесконечно малый) куб, ребра которого параллельны осям системы координат. Пусть длины ребер куба равны d_a. Нарисуем на гранях куба нормальные {σ_x, σ_y, σ_z} и касательные {t_xy, t_xz, t_yx, t_yz, t_zx, t_zy} напряжения, параллельные одной из осей координат (рис. 1).

Нормальные напряжения направлены наружу куба и перпендикулярны его граням, а касательные напряжения лежат в плоскостях граней куба. Индекс нормальных напряжений соответствует оси, которой они параллельны. Первая буква двойного индекса касательных напряжений совпадает с индексом нормального напряжения на той же грани. В силу третьего закона Ньютона напряжения на противоположных гранях элементарного куба равны по модулю и противоположны по направлению.

Закон парности касательных напряжений: на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к общему ребру, равны по модулю и направлены обе либо к ребру, либо от ребра:

В курсе «Сопротивление материалов» тензором напряжений называется матрица:

Главные площадки и главные напряжения.

Главными площадками напряжений называются площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения.

Направления нормалей к ним называются главными осями напряжений, а нормальные напряжения на них – главными напряжениями.

Виды напряженного состояния.

Виды напряженного состояния: линейное напряженное состояние (два главных напряжения равны нулю), плоское напряженное состояние (одно из главных напряжений равно нулю) и объемное напряженное состояние (все главные напряжения не равны нулю).